电磁场理论学习笔记（二）：宏观电磁场理论基础
电荷与电荷守恒定律
电荷与电荷密度
电荷是物质的基本属性。自然界存在正、负两种电荷。微观上电荷具有分离性（量子化），宏观上可视为连续分布。
体电荷密度
电荷连续分布在体积 $V$ 内，定义体电荷密度：
$$ \boxed{\rho(\mathbf{r}) = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta V} = \frac{\,dq}{\,dV}} $$单位为 $\mathrm{C/m^3}$。体积 $V$ 内的总电荷量为：
$$ q = \iiint_V \rho(\mathbf{r})\,dV $$面电荷密度
电荷连续分布在厚度可忽略不计的表面薄层 $S$ 上，定义面电荷密度：
$$ \boxed{\rho_s(\mathbf{r}) = \lim_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta S} = \frac{\,dq}{\,dS}} $$单位为 $\mathrm{C/m^2}$。面积 $S$ 上的总电荷量为：
$$ q = \iint_S \rho_s(\mathbf{r})\,dS $$线电荷密度
电荷连续分布在直径可忽略不计的细线 $l$ 上，定义线电荷密度：
$$ \boxed{\rho_l(\mathbf{r}) = \lim_{\Delta l \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta l} = \frac{\,dq}{\,dl}} $$单位为 $\mathrm{C/m}$。$l$ 上的总电荷量为：
$$ q = \int_l \rho_l(\mathbf{r})\,dl $$点电荷
当电荷集中在很小的区域，且所讨论的场区域远离电荷所在区域时，可用点电荷模型。其密度用 $\delta$ 函数表示：
$$ \rho(\mathbf{r}) = q\,\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') $$电流与电流密度
电荷的定向运动形成电流。
电流强度
单位时间内通过某一截面的电荷量：
$$ I = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\,dq}{\,dt} $$单位为 $\mathrm{A}$（安培）。电流强度是宏观概念。
体电流密度
电流在体积内流动，定义体电流密度矢量 $\mathbf{J}(\mathbf{r})$。其方向为正电荷运动方向，大小等于单位时间通过垂直于电流方向单位面积的电荷量。
通过任意曲面 $S$ 的电流强度与电流密度的关系：
$$ I = \iint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S} $$$\mathbf{J}$ 的单位为 $\mathrm{A/m^2}$。
面电流密度与线电流
当电流在厚度可忽略的薄层中流动时，定义面电流密度 $\mathbf{J}_s$（单位为 $\mathrm{A/m}$）。对于导线中的线电流，可用 $I\,d\mathbf{l}$ 表示电流元。
电荷守恒定律
定律表述
孤立系统的电荷总量保持不变。在任何时刻，系统中正负电荷的代数和保持不变。
电流连续性方程
考虑体积 $V$ 内电荷量随时间的变化。单位时间内流出闭合曲面 $S$ 的电荷量等于 $V$ 内电荷的减少量：
$$ \oiint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S} = -\frac{\,d}{\,dt}\iiint_V \rho\,dV $$利用高斯定理将面积分化为体积分：
$$ \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV = -\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV $$由于体积 $V$ 任意，被积函数相等：
$$ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0} $$此即电流连续性方程，是电荷守恒定律的微分形式。
对于稳恒电流（不随时间变化），$\partial\rho/\partial t = 0$，故：
$$ \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 $$此时电流线是闭合的（稳恒电流条件）。
库仑定律与静电场
库仑定律
真空中两点电荷之间的作用力为（实验定律）：
$$ \boxed{\mathbf{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{R^2}\,\hat{\mathbf{e}}_{R}} $$其中 $\mathbf{R} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$，$R = |\mathbf{R}|$，$\hat{\mathbf{e}}_{R} = \mathbf{R}/R$。$\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ 为真空介电常数。
电场强度
任何电荷在其周围空间激发电场。电场强度的定义为：单位正试验电荷在电场中所受的力。
$$ \boxed{\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \lim_{q_0\to 0}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{q_0}} $$对于点电荷 $q$（位于 $\mathbf{r}'$），其在 $\mathbf{r}$ 处产生的电场强度为：
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{R}}{R^3} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} $$对于连续分布电荷，利用叠加原理：
体电荷分布：
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_V \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\,dV' $$面电荷分布：
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iint_S \rho_s(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\,dS' $$线电荷分布：
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_l \rho_l(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\,dl' $$静电场的基本性质
性质一：静电场是有散场 —— 高斯定律
积分形式：电场强度穿出任意闭合曲面 $S$ 的通量等于 $S$ 所围体积内总电荷的 $1/\varepsilon_0$ 倍。
$$ \boxed{\oiint_S \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V \rho\,dV} $$由高斯定理（散度定理）：
$$ \oiint_S \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{E}\,dV $$比较两式，由 $V$ 的任意性得微分形式：
$$ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}} $$推导验证：可由库仑电场直接验证 $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$。对于点电荷：
$$\begin{aligned} \mathbf{E} &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{R}}{R^3} \\ \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{R}}{R^3}\right) &= 4\pi\delta(\mathbf{R}) \end{aligned}$$因此 $\nabla\cdot\mathbf{E} = (q/\varepsilon_0)\delta(\mathbf{R})$，对应 $\rho = q\delta(\mathbf{R})$。
性质二：静电场是无旋场 —— 电位函数
库仑电场满足：
$$ \boxed{\nabla\times\mathbf{E} = 0} $$证明：由库仑定律，电场可写为 $\mathbf{E} = -\nabla\phi$，其中：
$$ \phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$而梯度的旋度恒为零（$\nabla\times\nabla\phi \equiv 0$），故 $\nabla\times\mathbf{E} = 0$。
积分形式（斯托克斯定理）：
$$ \oint_C \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l} = 0 $$即静电场中沿任意闭合回路的环量为零，说明静电场是保守场。
电位（电势）函数
因 $\nabla\times\mathbf{E} = 0$，电场可表示为标量电位的负梯度：
$$ \boxed{\mathbf{E} = -\nabla\phi} $$电位函数的物理意义：将单位正电荷从参考点 $P_0$ 移到 $P$，电场力作的功的负值。
$$ \phi(P) = -\int_{P_0}^{P} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l} $$点电荷的电位：$\phi = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$（参考点取无穷远）。
电位与电场强度的关系满足泊松/拉普拉斯方程：
$$ \nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad\text{（泊松方程）} $$在无源区域 $(\rho = 0)$：
$$ \nabla^2\phi = 0 \quad\text{（拉普拉斯方程）} $$电偶极子
定义
电偶极子由两个相距很小距离 $l$ 的等量异号点电荷 $(\pm q)$ 构成。电偶极矩：
$$ \boxed{\mathbf{p} = q\mathbf{l}} $$其中 $\mathbf{l}$ 从负电荷指向正电荷，$|\mathbf{l}| = l$。
电偶极子的电场
在远场区域（$r \gg l$），电偶极子产生的电场为：
$$ \boxed{\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{r})\hat{\mathbf{e}}_{r} - \mathbf{p}}{r^3}} $$在球坐标系中（$\mathbf{p} = p\hat{\mathbf{e}}_{z}$）：
$$ \mathbf{E} = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{r} + \sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}) $$推导要点：两电荷电场叠加，利用 $r\gg l$ 做泰勒展开：
$$\begin{aligned} R_{\pm} &= |\mathbf{r} \mp \mathbf{l}/2| \approx r\left(1 \mp \frac{l}{2r}\cos\theta\right) \\ \frac{1}{R_{\pm}^3} &\approx \frac{1}{r^3}\left(1 \pm \frac{3l}{2r}\cos\theta\right) \end{aligned}$$代入叠加公式并保留一阶小量，即可得电偶极子电场表达式。
安培定律与电流的磁场
毕奥-萨伐尔定律（Biot--Savart Law）
电流元 $I\,d\mathbf{l}$ 在空间激发的磁感应强度由毕奥-萨伐尔定律给出：
$$ \boxed{\,d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{e}}_{R}}{R^2}} $$其中 $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}$（真空磁导率），$\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$。
对于体电流分布 $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$：
$$ \boxed{\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\mathbf{R}}{R^3}\,dV'} $$磁矢位（Magnetic Vector Potential）
利用恒等式 $\nabla(R^{-1}) = -\mathbf{R}/R^3$，可将毕奥-萨伐尔公式改写为：
$$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\left(-\nabla\frac{1}{R}\right)dV' = \nabla\times\left[\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{R}\,dV'\right] $$定义磁矢位：
$$ \boxed{\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{R}\,dV'} $$则有：
$$ \boxed{\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}} $$磁矢位的引入使磁场计算大为简化。在库仑规范（$\nabla\cdot\mathbf{A}=0$）下，$\mathbf{A}$ 满足矢量泊松方程：
$$ \nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J} $$稳恒磁场的基本性质
性质一：磁场是无散场
$$ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{B} = 0} $$证明：由 $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$，而旋度的散度恒为零。
积分形式（磁通连续性定理/磁场高斯定理）：
$$ \oiint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0 $$物理意义：磁感线无起点也无终点，总是闭合的。不存在磁单极子。
性质二：稳恒磁场是有旋场 —— 安培环路定理
$$ \boxed{\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}} $$推导：由 $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$ 及矢量恒等式：
$$\begin{aligned} \nabla\times\mathbf{B} &= \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A} \end{aligned}$$在库仑规范 $\nabla\cdot\mathbf{A} = 0$ 下，$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$，故：
$$ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} $$积分形式（安培环路定理）：
$$ \boxed{\oint_C \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{l} = \mu_0 I = \mu_0\iint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S}} $$性质三：洛伦兹力
电磁场对带电粒子的作用力为电场力和磁场力之和：
$$ \boxed{\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})} $$电流元受磁场力（安培力）：
$$ \,d\mathbf{F} = I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B} $$磁偶极子——小电流环
小电流环（环面积 $S$，电流 $I$）在远场产生的磁场与电偶极子电场形式类似。定义磁偶极矩：
$$ \boxed{\mathbf{m} = I\mathbf{S}} $$其中 $\mathbf{S}$ 的方向由右手定则确定。
磁偶极子在远场产生的磁矢位和磁场：
$$\begin{aligned} \mathbf{A} &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\hat{\mathbf{e}}_{r}}{r^2} \\ \mathbf{B} &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{r})\hat{\mathbf{e}}_{r} - \mathbf{m}}{r^3} \end{aligned}$$媒质的电磁特性
媒质在外部电磁场作用下表现出三种形态：极化（外部电场）、磁化（外部磁场）、传导（外部电场）。
介质的极化
极化机理与极化强度
外加电场使介质中分子/原子的正负电荷中心发生位移，产生电偶极矩。定义极化强度为单位体积内的电偶极矩：
$$ \boxed{\mathbf{P} = \lim_{\Delta V\to 0}\frac{\sum \mathbf{p}_i}{\Delta V}} $$单位为 $\mathrm{C/m^2}$。
束缚电荷（极化电荷）
极化使体积元内出现净余电荷——束缚电荷。极化电荷体密度与极化强度的关系：
$$ \boxed{\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}} $$推导：穿过闭合面 $S$ 的极化电荷量为 $\oiint_S \mathbf{P}\cdot\,d\mathbf{S}$。$V$ 内净余极化电荷为穿出电荷的负值：
$$ q_p = -\oiint_S \mathbf{P}\cdot\,d\mathbf{S} = -\iiint_V \nabla\cdot\mathbf{P}\,dV $$故 $\rho_p = \,dq_p/\,dV = -\nabla\cdot\mathbf{P}$。
极化电荷面密度（在介质表面）：
$$ \rho_{sp} = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{n} $$电位移矢量与介质中的高斯定理
介质中的总电场 = 外加电场 + 极化电荷电场。高斯定理在介质中修正为：
$$ \nabla\cdot(\varepsilon_0\mathbf{E}) = \rho + \rho_p = \rho - \nabla\cdot\mathbf{P} $$整理得：
$$ \nabla\cdot(\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}) = \rho $$定义电位移矢量：
$$ \boxed{\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}} $$则介质中的高斯定理为：
$$ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho} $$积分形式：
$$ \oiint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} = \iiint_V \rho\,dV = q $$$\mathbf{D}$ 是辅助量，不代表真正的电场。$\mathbf{E}$ 才是基本场量。
线性各向同性介质的本构关系
对于线性、均匀、各向同性介质，极化强度与电场呈线性关系：
$$ \mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} $$其中 $\chi_e$ 为介质的电极化率（无量纲）。
则电位移矢量为：
$$ \mathbf{D} = \varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf{E} = \varepsilon\mathbf{E} $$其中 $\varepsilon_r = 1+\chi_e$ 为相对介电常数，$\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$ 为介质的（绝对）介电常数。
例题：均匀介质内极化电荷与自由电荷的关系
证明：均匀介质内，$\rho_p = -(1-\varepsilon_0/\varepsilon)\rho$。
证：由 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho$ 且 $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$（均匀介质 $\varepsilon$ 为常数），则：
$$ \nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$又 $\mathbf{P} = \mathbf{D} - \varepsilon_0\mathbf{E} = (\varepsilon-\varepsilon_0)\mathbf{E}$，故：
$$ \rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P} = -(\varepsilon-\varepsilon_0)\nabla\cdot\mathbf{E} = -\frac{\varepsilon-\varepsilon_0}{\varepsilon}\rho = -\left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)\rho \quad\blacksquare $$当 $\varepsilon = \varepsilon_0$（真空）时，$\rho_p = 0$，无极化电荷。
介质的磁化
磁化机理与磁化强度
外加磁场使介质中分子磁矩取向排列（或改变分子电流）。定义磁化强度为单位体积内的磁偶极矩：
$$ \boxed{\mathbf{M} = \lim_{\Delta V\to 0}\frac{\sum \mathbf{m}_i}{\Delta V}} $$单位为 $\mathrm{A/m}$。
磁化电流
磁化产生的等效电流——磁化电流（束缚电流）。磁化电流体密度为：
$$ \boxed{\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}} $$磁化电流面密度（在介质表面）：
$$ \mathbf{J}_{sm} = \mathbf{M}\times\hat{\mathbf{e}}_{n} $$磁场强度与介质中的安培环路定理
考虑磁化电流后，安培环路定理修正为：
$$ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{J} + \mathbf{J}_m) = \mu_0(\mathbf{J} + \nabla\times\mathbf{M}) $$整理：
$$ \nabla\times\left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}\right) = \mathbf{J} $$定义磁场强度：
$$ \boxed{\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}} $$则介质中的安培环路定理为：
$$ \boxed{\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}} $$积分形式：
$$ \oint_C \mathbf{H}\cdot\,d\mathbf{l} = \iint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S} = I $$线性各向同性磁介质的本构关系
对于线性、均匀、各向同性磁介质：
$$ \mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H} $$其中 $\chi_m$ 为磁化率（无量纲）。
则磁感应强度为：
$$ \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}) = \mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H} = \mu_0\mu_r\mathbf{H} = \mu\mathbf{H} $$其中 $\mu_r = 1+\chi_m$ 为相对磁导率，$\mu = \mu_0\mu_r$ 为磁导率。
按 $\mu_r$ 分类：
- 抗磁质：$\mu_r < 1$（$\chi_m < 0$，很小）
- 顺磁质：$\mu_r > 1$（$\chi_m > 0$，很小）
- 铁磁质：$\mu_r \gg 1$（$\chi_m$ 很大，非线性）
导电媒质与传导
在外电场作用下，导电介质中自由电子产生定向运动，形成传导电流。
欧姆定律的微分形式
$$ \boxed{\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}} $$其中 $\sigma$ 为电导率，单位为 $\mathrm{S/m}$（西门子/米）。
这是欧姆定律的微观形式。对于均匀截面的导线，积分后得 $U = IR$。
导电媒质分类
- 理想介质（绝缘体）：$\sigma = 0$
- 良导体：$\sigma \to \infty$
- 半导体：介于上述两者之间
理想导体内部性质：静电平衡时，理想导体内部 $\mathbf{E}=0$、$\rho=0$。外加电荷仅分布在导体表面。
电磁感应定律与位移电流
法拉第电磁感应定律
实验发现
变化的磁场产生感应电场。当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，回路中产生感应电动势：
$$ \boxed{\mathcal{E} = -\frac{\,d\Phi}{\,dt}} $$其中磁通量 $\Phi = \iint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S}$，负号表示感应电流的磁场方向总是反抗原磁通的变化（楞次定律）。
微分形式
由电动势定义 $\mathcal{E} = \oint_C \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l}$ 及斯托克斯定理：
$$ \oint_C \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{E})\cdot\,d\mathbf{S} = -\frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = -\iint_S \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot\,d\mathbf{S} $$由于曲面 $S$ 任意，得：
$$ \boxed{\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}} $$这是Maxwell方程组之一，表明变化的磁场是电场的旋涡源。
物理意义：时变磁场激发出涡旋电场，这种电场不仅存在于导体回路中，也存在于空间的任意点。
位移电流
问题的提出
安培环路定理的原始形式 $\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}$ 在时变场中存在矛盾。对其取散度：
$$ \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) = \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 $$但由电荷守恒定律（电流连续性方程），时变场中 $\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t \neq 0$。矛盾！
麦克斯韦的修正
麦克斯韦在安培环路定理中加入位移电流项：
$$ \boxed{\mathbf{J}_d = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} $$修正后的安培-麦克斯韦定律：
$$ \boxed{\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} $$验证一致性：对上式取散度：
$$ \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) = \nabla\cdot\mathbf{J} + \nabla\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{D}) = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 $$与电流连续性方程一致！
位移电流的物理意义
位移电流本质上不是真正的电荷运动，而是时变电场的效应。变化的电场同样可以激发磁场——这是麦克斯韦最重要的洞见之一，直接预言了电磁波的存在。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦的贡献：两个推广与两个假设
- 推广一：将静电场高斯定理 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho$ 推广至时变场。
- 推广二：将磁通连续性定理 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 推广至时变场。
- 假设一（涡旋电场假设）：变化的磁场产生感应电场是普适的物理效应（推广法拉第定律至空间任意点）。
- 假设二（位移电流假设）：变化的电场与传导电流同样可以激发磁场（在安培环路定理中加入 $\partial\mathbf{D}/\partial t$ 项）。
麦克斯韦方程组的完整形式
微分形式（时域）
$$\begin{aligned} \nabla\times\mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \quad &\text{（法拉第定律）} \\ \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \quad &\text{（安培-麦克斯韦定律）} \\ \nabla\cdot\mathbf{D} &= \rho \quad &\text{（高斯定律）} \\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 \quad &\text{（磁通连续性）} \end{aligned}$$积分形式（时域）
$$\begin{aligned} \oint_C \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l} &= -\frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \\ \oint_C \mathbf{H}\cdot\,d\mathbf{l} &= \iint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S} + \frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} \\ \oiint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} &= \iiint_V \rho\,dV \\ \oiint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} &= 0 \end{aligned}$$本构关系（辅助方程）
仅有上述微分方程是不完备的（5个独立方程，16个未知分量），还需补充介质本构关系：
$$\begin{aligned} \mathbf{D} &= \varepsilon\mathbf{E} \\ \mathbf{B} &= \mu\mathbf{H} \\ \mathbf{J} &= \sigma\mathbf{E} \end{aligned}$$（以上为各向同性线性介质。对各向异性介质，$\varepsilon$、$\mu$、$\sigma$ 为张量。）
麦克斯韦方程组的物理意义
电场是有散有旋的矢量场。电荷是电场的通量源（$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$），时变磁场是电场的旋涡源（$\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$）。
磁场是无散有旋的矢量场。磁感线无起点和终点（$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$），传导电流和时变电场（位移电流）是磁场的旋涡源（$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\partial\mathbf{D}/\partial t$）。
电场与磁场相互耦合。时变的电场和时变的磁场相互激发，形成统一的电磁场。电磁场的运动基本形态是波动——一旦在某点某时刻有电磁扰动产生，将通过电场与磁场之间的相互激发而向四周传播。
洛伦兹力公式
电磁场对带电粒子的作用力：
$$ \boxed{\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})} $$对于连续分布电荷和电流：
$$ \mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B} $$其中 $\mathbf{f}$ 为力密度（单位体积的力）。
电磁场的边界条件
在实际电磁问题中，不同媒质的分界面两侧电磁特性参数不同，导致电磁场在界面处不连续。边界条件由麦克斯韦方程组的积分形式导出。
法向边界条件
在分界面处取一扁平圆柱体（高度 $h\to 0$），分别对 $\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{B}$ 应用高斯定律。
电位移矢量的法向边界条件
由 $\oiint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} = q$，当 $h\to 0$ 时柱壁面积趋于零：
$$ \mathbf{D}_2\cdot\hat{\mathbf{e}}_{n}\,\Delta S - \mathbf{D}_1\cdot\hat{\mathbf{e}}_{n}\,\Delta S = \rho_s\,\Delta S $$即：
$$ \boxed{\hat{\mathbf{e}}_{n}\cdot(\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = \rho_s} \quad\text{或}\quad \boxed{D_{2n} - D_{1n} = \rho_s} $$物理意义：电位移矢量的法向分量在分界面上不连续，突变量等于分界面上的自由面电荷密度。
磁感应强度的法向边界条件
由 $\oiint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0$，同理得：
$$ \boxed{\hat{\mathbf{e}}_{n}\cdot(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0} \quad\text{或}\quad \boxed{B_{2n} = B_{1n}} $$物理意义：磁感应强度的法向分量在分界面上总是连续的。
切向边界条件
在分界面处取一矩形环（高度 $h\to 0$），分别对 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 应用积分形式的麦克斯韦方程。
电场强度的切向边界条件
由法拉第定律 $\oint_C \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l} = -\frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S}$，当 $h\to 0$ 时：
$$ \mathbf{E}_2\cdot\hat{\mathbf{e}}_{t}\,\Delta l - \mathbf{E}_1\cdot\hat{\mathbf{e}}_{t}\,\Delta l = 0 $$用叉乘形式表示为（$\hat{\mathbf{e}}_{n}$ 从媒质1指向媒质2）：
$$ \boxed{\hat{\mathbf{e}}_{n}\times(\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0} \quad\text{或}\quad \boxed{E_{2t} = E_{1t}} $$物理意义：电场强度的切向分量在分界面上总是连续的。
磁场强度的切向边界条件
由安培-麦克斯韦定律：
$$ \oint_C \mathbf{H}\cdot\,d\mathbf{l} = \iint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S} + \frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} $$当 $h\to 0$ 时，$\mathbf{D}$ 通量趋于零。若有面电流 $\mathbf{J}_s$，则：
$$ \boxed{\hat{\mathbf{e}}_{n}\times(\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \mathbf{J}_s} \quad\text{或}\quad \boxed{H_{2t} - H_{1t} = J_s} $$物理意义：磁场强度的切向分量在分界面上不连续，突变量等于面自由电流密度。
边界条件总结
Table: 一般媒质分界面的边界条件（$\hat{\mathbf{e}}_{n}$ 从媒质1指向媒质2）
| 场量 | 一般形式 | 物理含义 |
|---|---|---|
| $\mathbf{D}$（法向） | $\hat{\mathbf{e}}_{n}\cdot(\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = \rho_s$ | 有自由面电荷时法向不连续 |
| $\mathbf{B}$（法向） | $\hat{\mathbf{e}}_{n}\cdot(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0$ | 法向分量总连续 |
| $\mathbf{E}$（切向） | $\hat{\mathbf{e}}_{n}\times(\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0$ | 切向分量总连续 |
| $\mathbf{H}$（切向） | $\hat{\mathbf{e}}_{n}\times(\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \mathbf{J}_s$ | 有面电流时切向不连续 |
特殊媒质分界面的边界条件
两种理想介质的分界面（$\sigma_1 = \sigma_2 = 0$）
无自由面电荷和面电流（$\rho_s = 0,\; \mathbf{J}_s = 0$）：
$$\begin{aligned} D_{1n} &= D_{2n} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n} \\ B_{1n} &= B_{2n} \quad\Rightarrow\quad \mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n} \\ E_{1t} &= E_{2t} \\ H_{1t} &= H_{2t} \end{aligned}$$理想导体与理想介质的分界面
设媒质1为理想导体（$\sigma_1\to\infty$），媒质2为理想介质。理想导体内部 $\mathbf{E}_1=0$，$\mathbf{B}_1=0$，$\mathbf{D}_1=0$，$\mathbf{H}_1=0$：
$$\begin{aligned} D_{2n} &= \rho_s \\ B_{2n} &= 0 \\ E_{2t} &= 0 \\ H_{2t} &= J_s \end{aligned}$$物理意义：在理想导体表面，电场仅有法向分量（垂直于表面），磁场仅有切向分量（平行于表面）。
本章核心公式汇总
电磁学实验定律
Table: 基本实验定律汇总
| 定律 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 库仑定律 | $\mathbf{F} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{R^2}\hat{\mathbf{e}}_{R}$ | 点电荷作用力 |
| 高斯定律（真空） | $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ | 电场有散 |
| 毕奥-萨伐尔定律 | $\,d\mathbf{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{e}}_{R}}{R^2}$ | 电流元磁场 |
| 安培环路定理（真空） | $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ | 稳恒磁场有旋 |
| 法拉第定律 | $\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$ | 时变磁场生电场 |
媒质中的本构关系
Table: 线性各向同性媒质的本构关系
| 媒质类型 | 本构关系 | 参数 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 电介质 | $\mathbf{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf{E} = \varepsilon\mathbf{E}$ | $\varepsilon_r = 1+\chi_e$ | $\mathrm{F/m}$ |
| 磁介质 | $\mathbf{B} = \mu_0\mu_r\mathbf{H} = \mu\mathbf{H}$ | $\mu_r = 1+\chi_m$ | $\mathrm{H/m}$ |
| 导电媒质 | $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ | $\sigma$ | $\mathrm{S/m}$ |
麦克斯韦方程组（完整形式）
微分形式：
$$ \boxed{ \begin{aligned} \nabla\times\mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\mathbf{D} &= \rho \\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 \end{aligned}} $$积分形式：
$$ \boxed{ \begin{aligned} \oint_C \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l} &= -\frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \\ \oint_C \mathbf{H}\cdot\,d\mathbf{l} &= \iint_S \mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{S} + \frac{\,d}{\,dt}\iint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} \\ \oiint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S} &= \iiint_V \rho\,dV \\ \oiint_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} &= 0 \end{aligned}} $$