电磁场理论学习笔记（三）：静态电磁场
静电场的定解问题
电位函数与边界条件
静电场的基本方程：
$$\begin{aligned} \nabla\times\mathbf{E} &= 0 \quad\text{（无旋场）}\\ \nabla\cdot\mathbf{D} &= \rho \quad\text{（有散场）} \end{aligned}$$
由无旋性引入电位函数：$\mathbf{E} = -\nabla\phi$。代入高斯定律得泊松方程：
$$\boxed{\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon}}$$
在无源区域（$\rho=0$）退化为拉普拉斯方程：
$$\boxed{\nabla^2\phi = 0}$$
电位的边界条件
由电场在介质分界面的边界条件 $\hat{\mathbf{e}}_{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\rho_s$ 和 $\hat{\mathbf{e}}_{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0$，用电位表示为：
第一类边界条件（Dirichlet）：电位在边界上给定值。
$$\phi_1 = \phi_2 \quad\text{（在分界面上）}$$
第二类边界条件（Neumann）：电位的法向导数在边界上给定值。
$$\varepsilon_2\frac{\partial\phi_2}{\partial n} - \varepsilon_1\frac{\partial\phi_1}{\partial n} = -\rho_s$$
导体边界条件
静电平衡时，导体内部 $\mathbf{E}=0$，导体为等势体。若导体表面为 $S$，其外侧介质中的电位满足：
$$\phi|_S = \text{常数}\quad\text{或}\quad \frac{\partial\phi}{\partial n}\bigg|_S = -\frac{\rho_s}{\varepsilon}$$
静电场的定解问题
均匀介质空间 $\Omega$ 中静电场的定解问题可综合表述为：
$$\begin{cases} \nabla^2\phi = -\dfrac{\rho}{\varepsilon}, & \mathbf{r}\in\Omega \\ \phi|_{S_1} = \psi(\mathbf{r}), & \text{（第一类边界）} \\ \varepsilon\dfrac{\partial\phi}{\partial n}\big|_{S_2} = \xi(\mathbf{r}), & \text{（第二类边界）} \\ \phi|_{S} = \psi(\mathbf{r}),\;\; \varepsilon\dfrac{\partial\phi}{\partial n}\big|_{S} = \xi(\mathbf{r}), & \text{（混合边界）} \end{cases}$$
典型例题
【例】电偶极子的电位与电场。电偶极子由相距 $L$ 的等量异号电荷 $(\pm q)$ 组成，电偶极矩 $\mathbf{p}=qL\hat{\mathbf{e}}_{z}$。在远场区（$r\gg L$）：
$$\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) \approx \frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
$$\mathbf{E} = -\nabla\phi = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{r}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta})$$
静电场能量与静电力
静电场能量
电荷体系的总静电能可表示为：
$$W_e = \frac{1}{2}\iiint_V \rho\phi \,dV$$
用场量表示（更普遍的表达式）：
$$\boxed{W_e = \frac{1}{2}\iiint_V \mathbf{D}\cdot\mathbf{E} \,dV}$$
电场能量密度：
$$\boxed{w_e = \frac{1}{2}\mathbf{D}\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{2}\varepsilon E^2}$$
电容
两导体间的电容：
$$C = \frac{Q}{U} = \frac{\iint_S \mathbf{D}\cdot\,d\mathbf{S}}{\int_A^B \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{l}}$$
利用能量法：$W_e = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C}$。
静电力（虚位移法）
带电导体所受的静电力可通过虚功原理计算。保持电荷不变时：
$$\mathbf{F} = -\nabla W_e\big|_{Q=\text{const}}$$
保持电位不变时：
$$\mathbf{F} = +\nabla W_e\big|_{\phi=\text{const}}$$
恒定电流的磁场
磁矢势及其方程
稳恒磁场的基本方程：
$$\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 \quad\text{（无散场）}\\ \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J} \quad\text{（有旋场）} \end{aligned}$$
由无散性引入磁矢势：$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$。在线性均匀介质中（$\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}$），代入安培环路定理，并取库仑规范 $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$，得矢量泊松方程：
$$\boxed{\nabla^2\mathbf{A} = -\mu\mathbf{J}}$$
在直角坐标系中，三个分量各自满足标量泊松方程：
$$\nabla^2 A_x = -\mu J_x,\quad \nabla^2 A_y = -\mu J_y,\quad \nabla^2 A_z = -\mu J_z$$
电场与磁场的对比
| 静电场 | 稳恒磁场 |
|---|---|
| $\nabla\times\mathbf{E}=0$ | $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ |
| $\mathbf{E}=-\nabla\phi$ | $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ |
| $\nabla^2\phi=-\rho/\varepsilon$ | $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu\mathbf{J}$ |
| $\phi=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\displaystyle\iiint\dfrac{\rho}{R}\,dV'$ | $\mathbf{A}=\dfrac{\mu}{4\pi}\displaystyle\iiint\dfrac{\mathbf{J}}{R}\,dV'$ |
由于磁矢势和电位满足同一类方程，两者有相同的求解方法和相似的结果。
标量磁位
在无电流区域（$\mathbf{J}=0$），$\nabla\times\mathbf{H}=0$，可引入标量磁位 $\phi_m$：
$$\mathbf{H} = -\nabla\phi_m$$
$\phi_m$ 满足拉普拉斯方程：$\nabla^2\phi_m = 0$。
静态磁场能量
磁场能量
电流体系的磁场能量：
$$W_m = \frac{1}{2}\iiint_V \mathbf{J}\cdot\mathbf{A} \,dV$$
用场量表示：
$$\boxed{W_m = \frac{1}{2}\iiint_V \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} \,dV}$$
磁场能量密度：
$$\boxed{w_m = \frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot\mathbf{H} = \frac{1}{2}\mu H^2 = \frac{B^2}{2\mu}}$$
电感
自感 $L$ 和互感 $M$ 可通过磁场能量计算：
$$W_m = \frac{1}{2}LI^2 \quad\text{或}\quad W_m = \frac{1}{2}L_1I_1^2 + MI_1I_2 + \frac{1}{2}L_2I_2^2$$
本章核心公式
| 静电场 | 稳恒磁场 | |
|---|---|---|
| 基本方程 | $\nabla\times\mathbf{E}=0,\;\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$ | $\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\;\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$ |
| 位函数 | $\mathbf{E}=-\nabla\phi$ | $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ |
| 位方程 | $\nabla^2\phi=-\rho/\varepsilon$ | $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu\mathbf{J}$ |
| 能量密度 | $w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$ | $w_m=\frac{1}{2}\mu H^2$ |
| 总能量 | $W_e=\frac{1}{2}\iiint\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\,dV$ | $W_m=\frac{1}{2}\iiint\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\,dV$ |
| 储能元件 | $W_e=\frac{1}{2}CU^2$ | $W_m=\frac{1}{2}LI^2$ |