电磁场理论学习笔记（四）：电磁场解析方法

静态电磁场的唯一性定理

定解问题的分类

电磁场定解问题可分为三类：

正向问题（正演）：已知源分布和介质特性及边界形状，求场的分布。
逆向问题（反演-1）：已知场和介质特性，求边界形状。
逆向问题（反演-2）：已知场和边界分布，求介质特性参数。

唯一性定理

定理陈述

设区域 $V$ 内源分布已知，在区域边界 $S$ 上给定电位值 $\phi|_S$（第一类）或电位的法向导数 $\partial\phi/\partial n|_S$（第二类），则在 $V$ 内满足泊松方程的解是唯一的。

证明（反证法）

设区域 $V$ 内存在两个不同的解 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 均满足泊松方程和边界条件：

$$ \begin{aligned} \nabla^2\phi_1 &= -\frac{\rho}{\varepsilon},\quad \nabla^2\phi_2 = -\frac{\rho}{\varepsilon} \\ \phi_1|_S &= \phi_2|_S = \psi\quad\text{或}\quad \frac{\partial\phi_1}{\partial n}\bigg|_S = \frac{\partial\phi_2}{\partial n}\bigg|_S = \xi \end{aligned} $$

令差值函数 $\Phi = \phi_1 - \phi_2$，则：

$$ \nabla^2\Phi = 0\;\;(\mathbf{r}\in V),\qquad \Phi|_S = 0\;\text{或}\;\frac{\partial\Phi}{\partial n}\bigg|_S = 0 $$

利用格林第一恒等式：

$$ \iiint_V (\Phi\nabla^2\Phi + \nabla\Phi\cdot\nabla\Phi)\,dV = \oiint_S \Phi\frac{\partial\Phi}{\partial n}\,dS $$

代入 $\nabla^2\Phi=0$ 和边界条件（$\Phi|_S=0$ 或 $\partial\Phi/\partial n|_S=0$），右边面积分为零：

$$ \iiint_V |\nabla\Phi|^2\,dV = 0 $$

由此 $\nabla\Phi\equiv 0$，即 $\Phi$ 为常数。在第一类边界条件下 $\Phi|_S=0$，故 $\Phi\equiv 0$，即 $\phi_1\equiv\phi_2$。$\quad\blacksquare$

物理意义

唯一性定理保证：只要找到满足泊松方程和边界条件的任何一个解（无论是用何种方法得到的），它就是唯一的正确解。这为各种近似解法和数值解法提供了理论基础。

分离变量法

方法概述

分离变量法是求解拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi=0$ 的基本解析方法。核心思想：将偏微分方程分解为几个常微分方程，分别求解后通过边界条件确定系数。

直角坐标系中的分离变量法

设 $\phi(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)$，代入 $\nabla^2\phi=0$：

$$ YZ\frac{d^2 X}{d x^2} + XZ\frac{d^2 Y}{d y^2} + XY\frac{d^2 Z}{d z^2} = 0 $$

除以 $XYZ$：

$$ \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{d x^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2 Y}{d y^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{d z^2} = 0 $$

引入分离常数 $k_x^2, k_y^2, k_z^2$，满足 $k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$，得三个独立的常微分方程：

$$ \frac{d^2 X}{d x^2} + k_x^2 X = 0,\quad \frac{d^2 Y}{d y^2} + k_y^2 Y = 0,\quad \frac{d^2 Z}{d z^2} + k_z^2 Z = 0 $$

各方程的解为三角函数或双曲函数（或指数函数），具体形式取决于边界条件。

典型本征函数：

$$ \begin{aligned} k_x^2 > 0 &: \quad X(x) = A\cos(k_x x) + B\sin(k_x x) \\ k_x^2 = 0 &: \quad X(x) = A + Bx \\ k_x^2 < 0 &: \quad X(x) = A\cosh(|k_x|x) + B\sinh(|k_x|x) \end{aligned} $$

通解为所有可能解的线性叠加：

$$ \phi(x,y,z) = \sum_{m,n} (A_{mn}\cos k_x x + B_{mn}\sin k_x x)(C_{mn}\cos k_y y + D_{mn}\sin k_y y)(E_{mn}e^{k_z z} + F_{mn}e^{-k_z z}) $$

圆柱坐标系中的分离变量法

设 $\phi(\rho,\varphi,z) = R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)$，代入柱坐标拉普拉斯方程，分离得：

$$ \begin{aligned} \frac{d^2 Z}{d z^2} - k^2 Z &= 0 \\ \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + n^2\Phi &= 0 \quad\Rightarrow\quad \Phi(\varphi) = C\cos(n\varphi) + D\sin(n\varphi) \\ \rho^2\frac{d^2 R}{d\rho^2} + \rho\frac{d R}{d\rho} + (k^2\rho^2 - n^2)R &= 0 \quad\text{（Bessel方程）} \end{aligned} $$

$R(\rho)$ 的通解为 Bessel 函数：$R(\rho) = AJ_n(k\rho) + BN_n(k\rho)$（$k^2>0$），或修正 Bessel 函数（$k^2<0$）。

球坐标系中的分离变量法

在轴对称情况下（与 $\varphi$ 无关），$\phi(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta)$，分离得：

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d R}{dr}\right) - l(l+1)R &= 0 \quad\Rightarrow\quad R = Ar^l + Br^{-(l+1)} \\ \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + l(l+1)\Theta &= 0 \quad\Rightarrow\quad \Theta = P_l(\cos\theta) \end{aligned} $$

其中 $P_l$ 为勒让德多项式。通解：

$$ \phi(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta) $$

镜像法

方法原理

镜像法的基本思想：用位于求解区域外的虚拟电荷（镜像电荷）代替导体界面上的感应电荷（或介质界面上的极化电荷），使得区域内的场与原问题等价。

镜像法的理论依据是唯一性定理：只要替代后的配置在求解区域内满足相同的泊松方程和边界条件，解就是唯一正确的。

平面镜像

点电荷对无限大导体平面的镜像

点电荷 $q$ 位于距无限大接地导体平面 $h$ 处。镜像电荷 $-q$ 位于平面对称位置（距界面 $h$ 的导体内部）。求解区域（$z>0$）内的电位为：

$$ \phi(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2}\right) $$

其中 $R_1=\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}$，$R_2=\sqrt{x^2+y^2+(z+h)^2}$。

导体表面的感应电荷密度：

$$ \rho_s = -\varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} = -\frac{qh}{2\pi(x^2+y^2+h^2)^{3/2}} $$

总感应电荷：$\iint_S\rho_s\,dS = -q$（等于镜像电荷）。

点电荷对介质分界面的镜像

两种介质 $\varepsilon_1$（$z>0$）和 $\varepsilon_2$（$z<0$），点电荷 $q$ 在介质1中距界面 $h$ 处。

求介质1中电场：镜像电荷 $q' = \frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q$ 位于界面下方对称位置。

求介质2中电场：等效电荷 $q'' = \frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q$ 位于原电荷位置（代替 $q$ 和界面上极化电荷的总效果）。

球面镜像

点电荷 $q$ 置于接地导体球外距球心 $d$ 处（球半径 $a$）。镜像电荷 $q'$ 位于球内距球心 $b$ 处：

$$ q' = -\frac{a}{d}q,\qquad b = \frac{a^2}{d} $$

球外区域的电位由 $q$ 和 $q'$ 共同产生。

本章核心公式

方法	核心公式
分离变量（直角）	$\phi = \sum (Ae^{k_xx}+Be^{-k_xx})(C\cos k_yy+D\sin k_yy)(E\cosh k_zz+F\sinh k_zz)$
分离变量（球）	$\phi = \sum_l (A_l r^l + B_l/r^{l+1})P_l(\cos\theta)$
平面镜像	$q'=-q$（接地导体），$q'=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q$（介质分界）
球面镜像	$q'=-\frac{a}{d}q,\; b=\frac{a^2}{d}$

Table: 本章核心公式