电磁场理论学习笔记（六）：均匀平面波
电磁场理论 · 第六章
理想介质空间中的平面电磁波
均匀平面波的定义
均匀平面波是最简单的电磁波解：等相位面为平面，且在等相位面上各点的场强大小和方向均相同（即场量仅沿传播方向变化）。
亥姆霍兹方程与平面波解
在无源（$\rho=0,\;\mathbf{J}=0$）、线性、均匀、各向同性理想介质（$\sigma=0$）中，时谐场的亥姆霍兹方程为：
$$ \nabla^2\dot{\mathbf{E}} + k^2\dot{\mathbf{E}} = 0,\qquad k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon} $$设波沿 $+z$ 方向传播，且 $\dot{\mathbf{E}}$ 仅随 $z$ 变化、只有 $x$ 分量：$\dot{\mathbf{E}} = \dot{E}_x(z)\hat{\mathbf{e}}_{x}$。方程简化为：
$$ \frac{\mathrm{d}^2\dot{E}_x}{\mathrm{d}z^2} + k^2\dot{E}_x = 0 $$通解：
$$ \dot{E}_x(z) = A e^{-\mathrm{j} kz} + B e^{+\mathrm{j} kz} $$时域形式：
$$ \mathbf{E}(z,t) = \operatorname{Re}[(A e^{-\mathrm{j} kz} + B e^{+\mathrm{j} kz})e^{\mathrm{j}\omega t}] = |A|\cos(\omega t - kz + \phi_A) + |B|\cos(\omega t + kz + \phi_B) $$第一项代表沿 $+z$ 方向传播的波（正向波），第二项代表沿 $-z$ 方向传播的波（反向波）。
平面波的基本性质
波速与波长
相速度（等相位面移动速度）：
$$ \boxed{v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}} $$真空中：$c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$。
波长：$\lambda = 2\pi/k = v_p/f$。
波阻抗
由麦克斯韦方程 $\nabla\times\dot{\mathbf{E}} = -\mathrm{j}\omega\mu\dot{\mathbf{H}}$ 求磁场。对正向波 $\dot{\mathbf{E}} = \dot{E}_0 e^{-\mathrm{j} kz}\hat{\mathbf{e}}_{x}$：
$$ \dot{\mathbf{H}} = \frac{\mathrm{j}}{\omega\mu}\nabla\times\dot{\mathbf{E}} = \frac{\mathrm{j}}{\omega\mu}\left(-\mathrm{j} k \dot{E}_0 e^{-\mathrm{j} kz}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y} = \frac{k}{\omega\mu}\dot{E}_0 e^{-\mathrm{j} kz}\hat{\mathbf{e}}_{y} = \frac{\dot{E}_0}{\eta} e^{-\mathrm{j} kz}\hat{\mathbf{e}}_{y} $$定义波阻抗（本征阻抗）：
$$ \boxed{\eta = \frac{|\dot{\mathbf{E}}|}{|\dot{\mathbf{H}}|} = \frac{\omega\mu}{k} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}} $$真空波阻抗：$\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377\;\Omega$（即 $120\pi\;\Omega$）。
电场与磁场的关系
$$ \boxed{\dot{\mathbf{H}} = \frac{1}{\eta}\hat{\mathbf{e}}_{k}\times\dot{\mathbf{E}}},\qquad \boxed{\dot{\mathbf{E}} = -\eta\,\hat{\mathbf{e}}_{k}\times\dot{\mathbf{H}}} $$其中 $\hat{\mathbf{e}}_{k}$ 为传播方向的单位矢量。
电磁场矢量满足：
- $\mathbf{E}\perp\mathbf{H}$（横电磁波 TEM）；
- $\mathbf{E}\perp\hat{\mathbf{e}}_{k}$，$\mathbf{H}\perp\hat{\mathbf{e}}_{k}$（横波）；
- $\mathbf{E}\times\mathbf{H}$ 指向传播方向（$\hat{\mathbf{e}}_{k}$）；
- $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 同相（理想介质中）。
波数的物理意义
$$ k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon} = \frac{2\pi}{\lambda} $$$k$ 表示单位长度上的相位变化，单位为 $\mathrm{rad/m}$。
沿任意方向传播的平面波
设传播方向单位矢量为 $\hat{\mathbf{e}}_{k}$（波矢 $\mathbf{k}=k\hat{\mathbf{e}}_{k}$），则平面波表达式为：
$$ \boxed{\dot{\mathbf{E}}(\mathbf{r}) = \dot{\mathbf{E}}_0 e^{-\mathrm{j}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}},\qquad \dot{\mathbf{H}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\eta}\hat{\mathbf{e}}_{k}\times\dot{\mathbf{E}}(\mathbf{r}) $$其中 $\dot{\mathbf{E}}_0$ 需满足 $\mathbf{k}\cdot\dot{\mathbf{E}}_0 = 0$（横波条件）。
导电介质中的平面波
导电介质中的亥姆霍兹方程
导电介质（$\sigma\neq 0$）中，安培-麦克斯韦定律含传导电流项：
$$ \nabla\times\dot{\mathbf{H}} = \sigma\dot{\mathbf{E}} + \mathrm{j}\omega\varepsilon\dot{\mathbf{E}} = \mathrm{j}\omega\left(\varepsilon - \mathrm{j}\frac{\sigma}{\omega}\right)\dot{\mathbf{E}} = \mathrm{j}\omega\varepsilon_c\dot{\mathbf{E}} $$定义复介电常数：
$$ \boxed{\varepsilon_c = \varepsilon - \mathrm{j}\frac{\sigma}{\omega} = \varepsilon\left(1 - \mathrm{j}\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)} $$复波数：$\gamma = \mathrm{j}\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c} = \alpha + \mathrm{j}\beta$，其中 $\alpha$ 为衰减常数，$\beta$ 为相位常数。
良导体近似
当 $\sigma \gg \omega\varepsilon$（良导体条件），近似有：
$$ \begin{aligned} \alpha &\approx \beta \approx \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} \\ \eta_c &= \sqrt{\frac{\mathrm{j}\omega\mu}{\sigma}} \approx (1+\mathrm{j})\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} \quad\text{（复波阻抗，感性）} \end{aligned} $$趋肤深度：电磁波幅值衰减到表面值 $1/e$ 的深度。
$$ \boxed{\delta = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}} $$良导体中电场和磁场的相位差约为 $45^\circ$。
导电介质中的平面波解
$$ \dot{\mathbf{E}} = \dot{\mathbf{E}}_0 e^{-\alpha z} e^{-\mathrm{j}\beta z} $$波幅按 $e^{-\alpha z}$ 指数衰减。
电磁波的极化
极化描述电场矢量末端在垂直于传播方向的平面内的运动轨迹。
线极化
设 $\dot{\mathbf{E}} = (\hat{\mathbf{e}}_{x}E_{x0} \pm \hat{\mathbf{e}}_{y}E_{y0})e^{-\mathrm{j} kz}$（两分量同相或反相），合成电场方向始终沿固定直线。
条件：$\Delta\phi = \phi_y-\phi_x = 0$ 或 $\pi$。
圆极化
$\dot{\mathbf{E}} = (E_0\hat{\mathbf{e}}_{x} \pm \mathrm{j} E_0\hat{\mathbf{e}}_{y})e^{-\mathrm{j} kz}$（两分量振幅相等，相位差 $\pi/2$）。
条件：$E_{x0}=E_{y0}$ 且 $\Delta\phi = \pm\pi/2$。
- $\Delta\phi = +\pi/2$（$y$ 超前 $x$）：左旋圆极化
- $\Delta\phi = -\pi/2$（$x$ 超前 $y$）：右旋圆极化
椭圆极化
一般情况下（任意振幅比和相位差），轨迹为椭圆。极化椭圆的长短轴比称为轴比（AR）。
相速度和群速度
相速度
单频正弦波的等相位面移动速度：
$$ v_p = \frac{\omega}{\beta} $$在非色散介质中（$\varepsilon,\mu$ 不随 $\omega$ 变化），$v_p$ 为常数。真空中 $v_p=c$。
群速度
窄带信号包络的传播速度：
$$ \boxed{v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\beta}} $$群速度与相速度的关系：
$$ v_g = v_p - \lambda\frac{\mathrm{d} v_p}{\mathrm{d}\lambda} $$正常色散（$v_g
本章核心公式
| 项目 | 公式 |
|---|---|
| 波数 | $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\pi/\lambda$ |
| 波阻抗 | $\eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$，真空中 $\eta_0\approx397\;\Omega$ |
| 电场-磁场关系 | $\dot{\mathbf{H}}=\frac{1}{\eta}\hat{\mathbf{e}}_{k}\times\dot{\mathbf{E}}$ |
| 复介电常数 | $\varepsilon_c=\varepsilon-\mathrm{j}\frac{\sigma}{\omega}$ |
| 趋肤深度 | $\delta=\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$ |
| 复波阻抗（良导体） | $\eta_c\approx(1+\mathrm{j})\sqrt{\omega\mu/(2\sigma)}$ |