电磁场理论学习笔记（七）：电磁波的传播
电磁场理论·第七章
电磁波的干涉
空间两列或多列同频率电磁波相遇时，合成场强等于各列波场强的矢量叠加，干涉现象取决于各列波的相位差。
对于同频率、初相位固定的两列波 $\dot{\mathbf{E}}_1$ 和 $\dot{\mathbf{E}}_2$，合成场振幅为：
$$ |\dot{\mathbf{E}}|^2 = |\dot{\mathbf{E}}_1|^2 + |\dot{\mathbf{E}}_2|^2 + 2|\dot{\mathbf{E}}_1||\dot{\mathbf{E}}_2|\cos(\Delta\phi) $$其中 $\Delta\phi = \phi_2-\phi_1$ 为相位差。干涉加强（$\Delta\phi=2n\pi$）和干涉相消（$\Delta\phi=(2n+1)\pi$）。
注意：若两电场矢量相互垂直（如 $\mathbf{E}_1\parallel\hat{\mathbf{e}}_x$，$\mathbf{E}_2\parallel\hat{\mathbf{e}}_y$），则无干涉条纹，但合成场矢量的振动方向会发生变化——这引出极化的概念。
反射与行驻波
垂直入射模型
平面波从媒质1（$\varepsilon_1,\mu_1$）垂直入射到媒质2（$\varepsilon_2,\mu_2$）的分界面（$z=0$）。
入射波（沿 $+z$）：
$$ \dot{\mathbf{E}}_i = \hat{\mathbf{e}}_x E_{i0}e^{-\mathrm{j} k_1 z},\quad \dot{\mathbf{H}}_i = \hat{\mathbf{e}}_y\frac{E_{i0}}{\eta_1}e^{-\mathrm{j} k_1 z} $$反射波（沿 $-z$）：
$$ \dot{\mathbf{E}}_r = \hat{\mathbf{e}}_x E_{r0}e^{+\mathrm{j} k_1 z},\quad \dot{\mathbf{H}}_r = -\hat{\mathbf{e}}_y\frac{E_{r0}}{\eta_1}e^{+\mathrm{j} k_1 z} $$透射波（沿 $+z$）：
$$ \dot{\mathbf{E}}_t = \hat{\mathbf{e}}_x E_{t0}e^{-\mathrm{j} k_2 z},\quad \dot{\mathbf{H}}_t = \hat{\mathbf{e}}_y\frac{E_{t0}}{\eta_2}e^{-\mathrm{j} k_2 z} $$其中 $k_i=\omega\sqrt{\mu_i\varepsilon_i}$，$\eta_i=\sqrt{\mu_i/\varepsilon_i}$。
反射系数与透射系数
在界面 $z=0$ 处，切向电场和切向磁场连续：
$$ E_{i0} + E_{r0} = E_{t0},\qquad \frac{E_{i0}}{\eta_1} - \frac{E_{r0}}{\eta_1} = \frac{E_{t0}}{\eta_2} $$解此方程组得：
反射系数（电场）：
$$ \boxed{\Gamma = \frac{E_{r0}}{E_{i0}} = \frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}} $$透射系数（电场）：
$$ \boxed{\tau = \frac{E_{t0}}{E_{i0}} = \frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1} = 1+\Gamma} $$关系：$\tau = 1+\Gamma$，且当 $\eta_1=\eta_2$ 时 $\Gamma=0$（无反射——匹配）。
行驻波与驻波比
媒质1中合成电场：
$$ \begin{aligned} \dot{E}_1(z) &= E_{i0}e^{-\mathrm{j} k_1 z} + \Gamma E_{i0}e^{+\mathrm{j} k_1 z} \\ &= E_{i0}e^{-\mathrm{j} k_1 z}\left(1 + \Gamma e^{2\mathrm{j} k_1 z}\right) \end{aligned} $$振幅：
$$ |\dot{E}_1(z)| = |E_{i0}|\sqrt{1+|\Gamma|^2+2|\Gamma|\cos(2k_1z+\phi_\Gamma)} $$定义驻波比（SWR 或 VSWR）：
$$ \boxed{\mathrm{SWR} = \frac{|\dot{E}|_{\max}}{|\dot{E}|_{\min}} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}} $$特殊情形：
- $\Gamma=0$（匹配）：SWR$=1$，纯行波；
- $|\Gamma|=1$（全反射）：SWR$\to\infty$，纯驻波；
- $0<|\Gamma|<1$：行驻波。
介质的等效波阻抗
在距离界面 $z = -l$ 处看入的等效波阻抗：
$$ \eta_{\text{in}}(l) = \eta_1\frac{\eta_2+\mathrm{j}\eta_1\tan(k_1 l)}{\eta_1+\mathrm{j}\eta_2\tan(k_1 l)} $$当 $l = \lambda/4$ 时：$\eta_{\text{in}} = \eta_1^2/\eta_2$（四分之一波长阻抗变换器）。
当 $l = \lambda/2$ 时：$\eta_{\text{in}} = \eta_2$（半波长阻抗重复性）。
斯涅耳定律
平面波以入射角 $\theta_i$ 从媒质1入射到媒质2的分界面。
反射定律：$\theta_r = \theta_i$（反射角等于入射角）。
折射定律（斯涅耳定律）：
$$ \boxed{\frac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t} = \frac{k_2}{k_1} = \frac{n_2}{n_1}} $$其中 $n=c/v$ 为折射率。当 $n_2 < n_1$ 时，存在全反射临界角：
$$ \theta_c = \arcsin\frac{n_2}{n_1} $$菲涅耳公式
垂直极化波（TE波，$\mathbf{E}\perp$ 入射面）
反射系数：
$$ \Gamma_{\perp} = \frac{\eta_2\cos\theta_i - \eta_1\cos\theta_t}{\eta_2\cos\theta_i + \eta_1\cos\theta_t} $$透射系数：
$$ \tau_{\perp} = \frac{2\eta_2\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_i + \eta_1\cos\theta_t} $$平行极化波（TM波，$\mathbf{E}\parallel$ 入射面）
反射系数：
$$ \Gamma_{\parallel} = \frac{\eta_2\cos\theta_t - \eta_1\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_t + \eta_1\cos\theta_i} $$全反射与全透射
全反射：当 $n_1>n_2$ 且 $\theta_i\geq\theta_c$ 时，$\Gamma_{\perp}=\Gamma_{\parallel}=1$，无透射能量。但分界面处仍有衰减的倏逝波（evanescent wave）。
全透射（布儒斯特角）：当 $\Gamma_{\parallel}=0$ 时（仅对平行极化），入射角满足：
$$ \boxed{\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}} $$此时反射波中只有垂直极化分量——布儒斯特窗效应。
对于非磁性介质（$\mu_1\approx\mu_2\approx\mu_0$），$\theta_B = \arctan\sqrt{\varepsilon_2/\varepsilon_1}$。
本章核心公式汇总
| 项目 | 公式 |
| 反射系数（垂直入射） | $\Gamma = \dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}$ |
| 透射系数 | $\tau = \dfrac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1} = 1+\Gamma$ |
| 驻波比 | $\mathrm{SWR} = \dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ |
| 斯涅耳定律 | $\dfrac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t} = \dfrac{n_2}{n_1}$ |
| 全反射临界角 | $\theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$ |
| 布儒斯特角 | $\tan\theta_B = n_2/n_1$ |
| $\lambda/4$ 阻抗变换 | $\eta_{\text{in}} = \eta_1^2/\eta_2$ |