电磁场理论学习笔记（八）：电磁波的辐射
电磁场理论·第八章
天线辐射场及其特点
电磁波辐射的物理机制
电磁波辐射的根源是运动电荷或时变电流。时变的电场和磁场通过麦克斯韦方程组相互激发，将电磁能量向空间传播。天线是能向自由空间辐射或从自由空间接收电磁波的装置。
辐射场的计算公式
设无界自由空间区域 $V$ 上存在随时间简谐变化的电流 $\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}')$ 和电荷 $\dot{\rho}(\mathbf{r}')$，通过势函数方法求解。
达朗贝尔方程（频域）：
$$ \begin{aligned} \nabla^2\dot{\mathbf{A}} + k^2\dot{\mathbf{A}} &= -\mu_0\dot{\mathbf{J}} \\ \nabla^2\dot{\phi} + k^2\dot{\phi} &= -\frac{\dot{\rho}}{\varepsilon_0} \end{aligned} $$其解（推迟势）：
$$ \begin{aligned} \dot{\mathbf{A}}(\mathbf{r}) &= \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}')\frac{e^{-\mathrm{j} kR}}{R}\,dV' \\ \dot{\phi}(\mathbf{r}) &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_V \dot{\rho}(\mathbf{r}')\frac{e^{-\mathrm{j} kR}}{R}\,dV' \end{aligned} $$其中 $R = |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$，$k = \omega/c = 2\pi/\lambda$。
由洛伦兹条件 $\nabla\cdot\dot{\mathbf{A}} = -\mathrm{j}\omega\mu_0\varepsilon_0\dot{\phi}$，可得电场和磁场：
$$ \dot{\mathbf{B}} = \nabla\times\dot{\mathbf{A}},\qquad \dot{\mathbf{E}} = -\mathrm{j}\omega\dot{\mathbf{A}} - \nabla\dot{\phi} = -\mathrm{j}\omega\dot{\mathbf{A}} + \frac{\nabla(\nabla\cdot\dot{\mathbf{A}})}{\mathrm{j}\omega\mu_0\varepsilon_0} $$天线辐射场的三个尺度与分区
三个特征长度：
- 源区尺度 $L$（天线尺寸）
- 场点距离 $r$
- 波长 $\lambda = 2\pi/k$
根据 $r$ 与 $\lambda$ 的相对大小，辐射场分为三个区域：
近场区（静态区）：$r\ll\lambda$（即 $kr\ll 1$）
$e^{-\mathrm{j} kR} \approx 1$，推迟效应可忽略。场量与 $r^2$ 成反比，呈现静态场特征。源直接产生的静态场远大于电磁场相互激发产生的场。
远场区（辐射区）：$r\gg\lambda$（即 $kr\gg 1$）
场量与 $r$ 成反比。源直接产生的静态场（$\propto 1/r^2$）远小于辐射场（$\propto 1/r$）。电磁场主要以波动形式向外辐射能量。
远场中的坡印廷矢量沿径向：
$$ \mathbf{S}_{\text{av}} = \frac{1}{2}\operatorname{Re}[\dot{\mathbf{E}}\times\dot{\mathbf{H}}^*] \propto \frac{1}{r^2}\hat{\mathbf{e}}_{r} $$辐射总功率（通过半径 $r$ 的球面）与 $r$ 无关——能量守恒。
感应区（中间区）：$r\sim\lambda$
源直接产生的场与电磁场相互激发产生的场量级相当，两种效应共存。
偶极子辐射场
电偶极子天线（Hertz偶极子）
天线结构与电流分布
电偶极子天线：长度 $l\ll\lambda$ 的短导线，其上电流均匀分布（仅随时间简谐变化）：
$$ \dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}') = \hat{\mathbf{e}}_{z}I_0\delta(x')\delta(y'), \quad |z'|\leq l/2 $$辐射场推导
磁矢势：
$$ \dot{\mathbf{A}} = \hat{\mathbf{e}}_{z}\frac{\mu_0 I_0 l}{4\pi r}e^{-\mathrm{j} kr} $$转换为球坐标分量：$A_r = A_z\cos\theta$，$A_\theta = -A_z\sin\theta$，$A_\varphi = 0$。
由 $\dot{\mathbf{H}} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\dot{\mathbf{A}}$ 和 $\dot{\mathbf{E}} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega\varepsilon_0}\nabla\times\dot{\mathbf{H}}$，得完整场分量：
$$ \begin{aligned} \dot{H}_\varphi &= \frac{I_0 l k^2}{4\pi}\sin\theta\left[\frac{\mathrm{j}}{kr} + \frac{1}{(kr)^2}\right]e^{-\mathrm{j} kr} \\ \dot{E}_r &= \frac{I_0 l k^2}{4\pi\omega\varepsilon_0}2\cos\theta\left[\frac{1}{(kr)^2} - \frac{\mathrm{j}}{(kr)^3}\right]e^{-\mathrm{j} kr} \\ \dot{E}_\theta &= \frac{I_0 l k^2}{4\pi\omega\varepsilon_0}\sin\theta\left[\frac{\mathrm{j}}{kr} + \frac{1}{(kr)^2} - \frac{\mathrm{j}}{(kr)^3}\right]e^{-\mathrm{j} kr} \end{aligned} $$远场近似（$kr\gg 1$）
保留 $1/(kr)$ 项：
$$ \boxed{\dot{E}_\theta = \mathrm{j}\frac{I_0 l k\eta_0}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-\mathrm{j} kr}},\qquad \boxed{\dot{H}_\varphi = \mathrm{j}\frac{I_0 l k}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-\mathrm{j} kr}} $$其中 $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$。远场中 $\dot{E}_\theta/\dot{H}_\varphi = \eta_0$（波阻抗关系）。
辐射特性
平均坡印廷矢量：
$$ \mathbf{S}_{\text{av}} = \hat{\mathbf{e}}_{r}\frac{1}{2}\eta_0\left(\frac{I_0 l k}{4\pi r}\sin\theta\right)^2 $$辐射功率：$P_{\text{rad}} = \frac{\eta_0}{12\pi}(I_0 l k)^2$。辐射电阻：$R_{\text{rad}} = 80\pi^2(l/\lambda)^2\;\Omega$。
方向性函数：$F(\theta)=\sin\theta$（面包圈形方向图）。
磁偶极子天线（小电流环）
小电流环（$a\ll\lambda$，$a\ll r$）产生与电偶极子对偶的辐射场。环面积 $S=\pi a^2$。
远场辐射场：
$$ \boxed{\dot{E}_\varphi = \frac{I_0 S k^2\eta_0}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-\mathrm{j} kr}},\qquad \boxed{\dot{H}_\theta = -\frac{I_0 S k^2}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-\mathrm{j} kr}} $$与电偶极子远场对比：电场和磁场的极化方向互为置换，特性类似（对偶性）。
广义Maxwell方程组与对偶性原理
广义Maxwell方程组的引入
实际问题中，口径天线（缝隙天线、抛物面天线等）用传统仅含电源的Maxwell方程组求解不便。引入假想的磁荷 $\rho_m$ 和磁流 $\mathbf{J}_m$，与电荷/电流对应，使问题对称化。
广义Maxwell方程组（对称形式）
$$ \begin{aligned} \nabla\times\mathbf{E} &= -\mathbf{J}_m - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J}_e + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\mathbf{D} &= \rho_e \\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= \rho_m \end{aligned} $$其中 $\mathbf{J}_e,\rho_e$ 为电源/电荷，$\mathbf{J}_m,\rho_m$ 为磁流/磁荷。磁流和磁荷满足磁荷守恒定律：$\nabla\cdot\mathbf{J}_m = -\partial\rho_m/\partial t$。
对偶性原理（Duality Principle）
若已求出电源（电荷及电流）产生的电磁场 $(\mathbf{E}_e,\mathbf{H}_e)$，通过对偶量置换即可得到相同分布特性的磁源（磁荷与磁流）产生的电磁场 $(\mathbf{E}_m,\mathbf{H}_m)$。
对偶量关系表
| 电源（电性源） | 磁源（磁性源） |
|---|---|
| $\mathbf{E}_e$ | $\mathbf{H}_m$ |
| $\mathbf{H}_e$ | $-\mathbf{E}_m$ |
| $\mathbf{J}_e$ | $\mathbf{J}_m$ |
| $\rho_e$ | $\rho_m$ |
| $\varepsilon$ | $\mu$ |
| $\mu$ | $\varepsilon$ |
| $\eta$ | $1/\eta$ |
Table: 电磁对偶量置换关系
电偶极子与磁偶极子的对偶
静态场：
$$ \begin{aligned} \text{电偶极子} &: \mathbf{E}_e = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{r}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}) \\ \text{磁偶极子} &: \mathbf{H}_m = \frac{p_m}{4\pi\mu_0 r^3}(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{r}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}) \end{aligned} $$动态场（远区辐射场）：将电偶极子辐射场中的 $\mathbf{E}_e\to\mathbf{H}_m$、$\mathbf{H}_e\to-\mathbf{E}_m$、$\varepsilon_0\to\mu_0$、$\mu_0\to\varepsilon_0$ 即得磁偶极子辐射场。
本章核心公式
| 项目 | 公式 |
|---|---|
| 推迟势 | $\dot{\mathbf{A}} = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint \dot{\mathbf{J}}\frac{e^{-\mathrm{j} kR}}{R}\,dV'$ |
| 电偶极子远场 | $\dot{E}_\theta = \mathrm{j}\frac{I_0 l k\eta_0}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-\mathrm{j} kr}$ |
| 辐射电阻 | $R_{\text{rad}} = 80\pi^2(l/\lambda)^2\;\Omega$ |
| 磁偶极子远场 | $\dot{E}_\varphi = \frac{I_0 S k^2\eta_0}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-\mathrm{j} kr}$ |
| 广义Maxwell | $\nabla\times\mathbf{E} = -\mathbf{J}_m - \partial\mathbf{B}/\partial t$ |