传感器复习笔记（三）：应变式传感器
应变效应与基本原理
应变效应：金属导体在受到外力作用时产生机械变形，从而导致其电阻值发生变化的现象。
基本物理量
- 应变 $\varepsilon$：$\varepsilon = \Delta L / L$（无量纲，单位长度伸长量）
- 应力 $\sigma$：$\sigma = F/S$
- 胡克定律：$\sigma = E\varepsilon$（$E$ 为弹性模量/杨氏模量）
电阻应变效应公式
对于金属丝电阻 $R = \rho L/S$，受力后的电阻相对变化：
$$ \frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta\rho}{\rho} + \frac{\Delta L}{L} - \frac{\Delta S}{S} $$由于 $\Delta S/S = -2\mu\varepsilon$（$\mu$ 为泊松比），且对金属材料 $\Delta\rho/\rho$ 很小可忽略，故：
$$ \boxed{\frac{\Delta R}{R} = (1+2\mu)\varepsilon} $$灵敏度系数：$K = \dfrac{\Delta R/R}{\varepsilon} = 1 + 2\mu$
拉伸时 $\varepsilon>0$，$\Delta R>0$；压缩时 $\varepsilon<0$，$\Delta R<0$。
金属应变片的基本结构
金属应变片由敏感栅、基底、盖片、引线和粘结剂组成。
主要类型：
- 金属丝式：金属细丝绕成栅形，$120\,\Omega$ 最常用
- 金属箔式：光刻腐蚀制成，厚 0.003–0.010 mm，精度高、散热好
- 金属薄膜式：真空蒸镀或溅射制成，灵敏度高、稳定性好
基本测量电路——电桥
直流电桥
直流电桥输出电压（负载无穷大时）：
$$ U_g = U\frac{R_1R_4 - R_2R_3}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)} $$平衡条件：$R_1R_4 = R_2R_3$（相对两臂电阻乘积相等）。
等臂电桥（$R_1=R_2=R_3=R_4=R$）
四个桥臂均有电阻增量时，输出电压为：
$$ U_g \approx \frac{U}{4}\left(\frac{\Delta R_1}{R_1} - \frac{\Delta R_2}{R_2} + \frac{\Delta R_3}{R_3} - \frac{\Delta R_4}{R_4}\right) $$即：
$$ \boxed{U_g = \frac{UK}{4}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3 - \varepsilon_4)} $$这个公式是应变式传感器计算的基石。
电桥排布规律：
| 臂的关系 | 变化趋势相同 | 变化趋势相反 |
|---|---|---|
| 相邻臂（$R_1$ 与 $R_2$，$R_3$ 与 $R_4$） | 相减 $\rightarrow$ 抵消 | 相加 $\rightarrow$ 增强 |
| 相对臂（$R_1$ 与 $R_3$，$R_2$ 与 $R_4$） | 相加 $\rightarrow$ 增强 | 相减 $\rightarrow$ 抵消 |
实用结论：相同变化趋势的应变片放在对臂，相反变化趋势的放在邻臂。
三种等臂电桥形式
假设各应变片应变值相同：
| 电桥形式 | 配置 | 输出电压 | 电压灵敏度 |
|---|---|---|---|
| 单臂电桥 | 1个工作片 | $U_g = \dfrac{U}{4}K\varepsilon$ | $\dfrac{UK}{4}$ |
| 半桥（差动） | 2个工作片，邻臂 | $U_g = \dfrac{U}{2}K\varepsilon$ | $\dfrac{UK}{2}$ |
| 全桥（差动） | 4个工作片 | $U_g = UK\varepsilon$ | $UK$ |
提高输出电压的方法：
- 提高供电电压 $U$
- 选择灵敏度系数 $K$ 较高的应变片
- 合理布置应变片：相同变化趋势放在对臂，相反趋势放在邻臂
金属应变片的主要特性
灵敏度系数
应变片的灵敏系数 $K$ 恒小于线材的灵敏系数 $K_S$，主要原因：
- 胶层传递变形失真
- 横向效应
横向效应
应变片既受轴向应变影响，又受横向应变影响而引起电阻变化的现象。
横向效应系数：$H = \dfrac{K_\perp}{K_\parallel}$
$r$ 愈小、$l$ 愈大（敏感栅越窄、基长越长），$H$ 愈小，横向效应误差越小。
其他特性
- 机械滞后：加载与卸载特性不重合
- 零点漂移：温度恒定、不承受应变时电阻随时间变化
- 蠕变：承受恒定应变时电阻随时间变化（方向与原应变相反）
- 应变极限：指示应变误差不超过 10% 时的最大真实应变值
温度误差及其补偿
温度变化 $\Delta t$ 引起的总电阻相对变化：
$$ \frac{\Delta R_t}{R} = \alpha_t\Delta t + K(\beta_e - \beta_g)\Delta t $$其中 $\alpha_t$——电阻温度系数，$\beta_e$——试件线膨胀系数，$\beta_g$——敏感栅线膨胀系数。
相应的虚假应变：
$$ \varepsilon_t = \frac{\alpha_t\Delta t}{K} + (\beta_e - \beta_g)\Delta t $$三种温度补偿方法：
- 单丝自补偿应变片：使 $\alpha_t = -K(\beta_e - \beta_g)$，必须在特定材料的试件上使用
- 双丝组合式自补偿应变片：两种不同电阻温度系数的材料串联
- 电路补偿法（最常用）：
- 工作片 $R_1$ 贴在被测试件上，补偿片 $R_2$ 贴在相同材料的补偿块上
- $R_1$ 和 $R_2$ 接入电桥相邻臂
- 温度变化使两者变化相等，相邻臂相减抵消
- 要求：同一批号、相同初始电阻、相同试件材料、同一温度环境
- 最终输出 $U_g = \dfrac{UK}{4}\varepsilon$，只与应变有关，与温度无关
常用应变式传感器
柱式力传感器
圆柱（筒）在力 $F$ 作用下的应变：
$$ \boxed{\varepsilon = \frac{F}{SE}} $$其中 $S$ 为横截面积，$E$ 为弹性模量。
布片方式：$R_1$、$R_3$ 沿轴向粘贴（正应变），$R_2$、$R_4$ 沿圆周方向粘贴（负应变 $\varepsilon_r = -\mu\varepsilon$）。四个应变片组成全桥，既提高灵敏度又实现温度补偿。
梁式力传感器
$$ \begin{aligned} \text{等强度梁：}&\quad \varepsilon = \frac{6Fl}{b_0h^2E}\\ \text{等截面梁：}&\quad \varepsilon = \frac{6Fl}{bh^2E}\\ \text{固定梁：}&\quad \varepsilon = \frac{3Fl}{4bh^2E} \end{aligned} $$梁上下两侧各贴 2 只应变片，构成全差动电桥。
计算示例
例：四个相同金属丝应变片（$K=2$）贴在实心圆柱弹性元件上，$F=10$ kN，$r=1$ cm，$E=2\times10^7$ N/cm$^2$，$\mu=0.3$。求各应变片应变值和桥路输出电压（$U=6$ V）。
解：
（1）$R_1$、$R_3$ 沿轴向，$R_2$、$R_4$ 沿圆周方向，组成全桥。轴向和圆周方向的应变片在相邻位置。
（2）轴向应变：
$$ \varepsilon_1 = \varepsilon_3 = \frac{F}{SE} = \frac{10\times10^3}{\pi\times1^2\times2\times10^7} = 1.59\times10^{-4} $$ $$ \frac{\Delta R_1}{R_1} = \frac{\Delta R_3}{R_3} = K\varepsilon_1 = 3.18\times10^{-4} $$圆周方向应变：
$$ \varepsilon_2 = \varepsilon_4 = -\mu\varepsilon_1 = -0.3\times1.59\times10^{-4} = -4.77\times10^{-5} $$ $$ \frac{\Delta R_2}{R_2} = \frac{\Delta R_4}{R_4} = -9.54\times10^{-5} $$（3）桥路输出电压：
$$ \begin{aligned} U_g &= \frac{UK}{4}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3 - \varepsilon_4) \\ &= \frac{6\times2}{4}\times[1.59\times10^{-4} - (-4.77\times10^{-5}) + 1.59\times10^{-4} - (-4.77\times10^{-5})] \\ &= 3 \times 4.134 \times 10^{-4} \approx 1.24\;\text{mV} \end{aligned} $$（4）可以补偿温度影响：四个相同应变片在同一温度场，温度引起的电阻变化相等，代入电桥公式后相邻臂相减、相对臂相加，温度影响彻底抵消为零。
压阻式传感器
压阻效应：单晶硅材料在受到应力作用后，其电阻率发生明显变化的现象。
电阻相对变化：
$$ \frac{\Delta R}{R} = \pi E\varepsilon $$其中 $\pi$ 为压阻系数。$\pi E$ 一般比 $(1+2\mu)$ 大几十到上百倍。
金属 vs 半导体：
- 金属：电阻变化主要取决于几何尺寸变化（应变）
- 半导体：电阻变化主要取决于电阻率变化（压阻效应），灵敏度大 50–100 倍
压阻式传感器优点：频率响应高、体积小、精度高、灵敏度高、可靠性高。
缺点：温度影响大、工艺复杂、造价高。