传感器复习笔记（四）：电容式传感器

一、工作原理

平行板电容器的电容量（忽略边缘效应）：

$$ C = \frac{\varepsilon S}{d} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d} $$

其中 $\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m（真空介电常数），$\varepsilon_r$ 为相对介电常数，$S$ 为极板覆盖面积，$d$ 为极板间距。

核心思路：改变 $S$、$d$、$\varepsilon$ 中任意一个参量，电容 $C$ 即发生变化。

二、三种基本类型

1. 变面积式电容传感器

平面直线位移式：初始电容 $C_0 = \dfrac{\varepsilon b l}{d}$，位移 $x$ 后 $C_x = C_0\left(1 - \dfrac{x}{l}\right)$。

圆筒直线位移式：$C_0 = \dfrac{2\pi\varepsilon l}{\ln(R/r)}$，位移 $x$ 后 $C_x = C_0\left(1 - \dfrac{x}{l}\right)$。

角位移式：$C_\theta = C_0\left(1 - \dfrac{\theta}{\pi}\right)$。

特点：输出与位移/转角呈线性关系，灵敏度 $K$ 与初始电容 $C_0$ 成正比。多用于检测直线位移、角位移、尺寸等。

2. 变介质型电容传感器

用于测量电介质厚度、液位、温度、湿度等。

电容液位计（非导体液体）：总电容 $C = C_0 + kh$，其中 $h$ 为液位高度。同心圆筒电容公式为：

$$ \boxed{C = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r h}{\ln(R/r)}} $$

总电容等于空气段电容与液体段电容两段并联。对于非导体液体，总电容 = 空气段电容 + 液体段电容。

电容液位计（导体液体）：液体段电容被短路，仅空气段有效。利用单电极结构，导电液体和容器壁构成外电极。

3. 变极板间距型电容传感器

初始电容 $C_0 = \dfrac{\varepsilon S}{d_0}$，动极板位移 $\Delta d$ 后：

$$ C = C_0\frac{1}{1 - \Delta d/d_0} $$

电容相对变化：

$$ \frac{\Delta C}{C_0} = \frac{\Delta d}{d_0}\left[1 + \frac{\Delta d}{d_0} + \left(\frac{\Delta d}{d_0}\right)^2 + \cdots\right] $$

特点：近似线性，灵敏度 $K = \dfrac{C_0}{d_0}$。非线性随 $\Delta d/d_0$ 增大而增大，适用于微位移测量。

三种类型对比如下：

类型	改变量	输出关系	主要用途
变面积式	覆盖面积 $S$	线性（$C_x = C_0(1-x/l)$）	位移、角度
变介质式	介电常数 $\varepsilon$	取决于介质分布	液位、厚度、温湿度
变极距式	极间距 $d$	非线性（近似线性）	微位移

三、差动式电容传感器

两个电容差动输出：

$$ \frac{\Delta C}{C_0} = 2\frac{\Delta d}{d_0}\left[1 + \left(\frac{\Delta d}{d_0}\right)^2 + \cdots\right] $$

与单电容相比：

灵敏度提高一倍
非线性误差减小一个数量级（消除偶次非线性项）
温度等共模干扰可互相抵消

四、测量电路

1. 变压器电桥

对变间隙型差动电容传感器：

$$ U_0 = \frac{U}{2}\frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2} = \frac{U}{2}\frac{\Delta d}{d_0} $$

特点：输出电压与被测位移 $\Delta d$ 呈良好线性关系。使用元件最少，桥路内阻最小。

2. 差动脉宽调制电路

假设 $R_1 = R_2 = R$，输出直流电压：

$$ U_0 = \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2}U_1 $$

特点：

适用于任何差动式电容传感器
理论上具有线性特性
采用直流电源（不需稳频稳幅），电压稳定度高
不需要相敏检波与解调
经低通滤波器可输出较大的直流电压

五、电容式传感器的误差分析

温度影响：选用热膨胀系数小、几何尺寸稳定的材料（石英、陶瓷等），采用差动对称结构
边缘效应：减小极板间距，电极做得很薄，增加等位保护环
寄生电容：增加原始电容值，注意接地和屏蔽，采用"驱动电缆"技术

六、计算举例

例1：电容式液位传感器由 $\phi 40$ mm 和 $\phi 8$ mm 的两个同心圆柱体组成。储罐直径 50 cm，高 1.2 m。液体 $\varepsilon_r = 2.1$。求传感器最小/最大电容和灵敏度 (pF/L)。

解：

最小电容（空罐）：

$$ C_{\min} = \frac{2\pi\varepsilon_0 \times 1.2}{\ln(20/4)} \approx 41.6\ \text{pF} $$

最大电容（满罐）：

$$ C_{\max} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r \times 1.2}{\ln(20/4)} \approx 87.4\ \text{pF} $$

灵敏度：

$$ K = \frac{C_{\max} - C_{\min}}{V} \approx 0.19\ \text{pF/L} $$

例2：同心圆柱电容液位计，内筒外径 8 mm，外筒内径 40 mm，筒高 1.2 m。被测液体 $\varepsilon_r = 2.5$（非导体）。

（1）写出空气段和液体段电容的计算公式。

$\ln(R/r) = \ln(20/4) = \ln 5 \approx 1.609$

空气段（$h_0 = 1.2 - h$）：

$$ C_{\text{air}} = \frac{2\pi\varepsilon_0 \times 1 \times (1.2 - h)}{1.609} $$

液体段（$h$）：

$$ C_{\text{liquid}} = \frac{2\pi\varepsilon_0 \times 2.5 \times h}{1.609} $$

总电容：

$$ C = C_{\text{air}} + C_{\text{liquid}} = \frac{2\pi\varepsilon_0}{1.609}\big[(1.2 - h) + 2.5h\big] = \frac{2\pi\varepsilon_0}{1.609}(1.2 + 1.5h) $$

（2）当液位 $h = 0.8$ m 时，总电容是多少？

$$ C = \frac{2\pi \times 8.854 \times 10^{-12}}{1.609} \times (1.2 + 1.5 \times 0.8) \approx 83.0\ \text{pF} $$

（3）差动式电容传感器相比单电容传感器的优势：

灵敏度提高一倍
非线性误差减小一个数量级
温度等共模干扰可互相抵消